\chapter{1837年，狄利克雷级数的定义、性质及其与算术函数的关系}
\author{李国斌}
\date{2025年09月04日}

\newtheorem{definition}{定义}
\newtheorem{theorem}{定理}
\newtheorem{lemma}{引理}
\newtheorem{proposition}{命题}
\newtheorem{proof}{证明}
\newtheorem{example}{例}
\newtheorem{property}{性质}

	\begin{abstract}
		1837年发表的狄利克雷级数（Dirichlet Series）是解析数论中的核心工具，其一般形式为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}$，其中$s=\sigma+it$为复变量，$\{a_n\}$是一个算术函数（Arithmetic Function）。最著名的例子是黎曼$\zeta$函数（当$a_n \equiv 1$时）。本文旨在详细阐述狄利克雷级数的定义，推导其基本性质——特别是关于收敛性的阿贝尔定理，并深入探讨其与算术函数的卷积、乘法运算之间的深刻联系。这些性质使得狄利克雷级数成为研究素数分布、算术函数渐近行为等数论问题的强大武器。
		\par\textbf{关键词}：狄利克雷级数；解析数论；算术函数；绝对收敛；条件收敛；阿贝尔求和；卷积
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	在数学中，生成函数是将一个序列的信息编码到一个形式幂级数中的有力工具。对于研究整数序列（算术函数）而言，狄利克雷级数扮演了类似于生成函数的角色，但其形式为：
	\[
	F(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}
	\]
	其中$s$是一个复变量。这种形式天然地适配于整数的乘法结构。当$a_n = 1$时，我们得到著名的黎曼$\zeta$函数$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$，它在$\Re(s)>1$时收敛。狄利克雷级数不仅是定义许多重要解析函数的起点，其系数$a_n$所蕴含的算术信息也通过该级数的解析性质（如解析延拓、极点分布等）得以显现。本文将从基础定义出发，系统推导狄利克雷级数的核心性质。
	
	\section{预备知识}
	\begin{definition}[算术函数]
		映射$f: \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{C}$称为一个算术函数。
	\end{definition}
	
	\begin{definition}[狄利克雷卷积]
		两个算术函数$f$和$g$的狄利克雷卷积（Dirichlet Convolution）定义为：
		\[
		(f * g)(n) = \sum_{d \mid n} f(d) g\left(\frac{n}{d}\right)
		\]
	\end{definition}
	
	\begin{definition}[绝对收敛半平面]
		对于狄利克雷级数$F(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}$，存在一个常数$\sigma_a \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$，使得级数在$\Re(s) > \sigma_a$时绝对收敛，在$\Re(s) < \sigma_a$时发散。$\sigma_a$称为该级数的绝对收敛横坐标（Abscissa of Absolute Convergence）。
	\end{definition}
	
	\section{狄利克雷级数的定义与收敛性}
	\begin{definition}[狄利克雷级数]
		设$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$为一复数序列，$s = \sigma + it$为一个复变量。则形如
		\[
		F(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}
		\]
		的级数称为一个狄利克雷级数。
	\end{definition}
	利用$n^{-s} = e^{-s \ln n}$，我们可以将级数改写为$\sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{-s \ln n}$，这类似于指数型生成函数，但求和指标在对数尺度上。
	
	狄利克雷级数的收敛性由以下定理描述，其证明依赖于强大的阿贝尔求和公式。
	\begin{theorem}[收敛性]
		设狄利克雷级数的部分和$A(x) = \sum_{n \leq x} a_n$满足估计$A(x) = O(x^{\kappa})$，其中$\kappa \geq 0$。则狄利克雷级数$F(s)$在半平面$\Re(s) > \kappa$上收敛。更进一步，若级数在$s = s_0 = \sigma_0 + it_0$处收敛，则它在半平面$\Re(s) > \sigma_0$内内闭一致收敛。
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
		设$s_0 = \sigma_0 + it_0$为级数的一个收敛点。令$b_n = n^{-s_0}$，则$a_n = a_n \cdot 1$。应用阿贝尔求和公式（定理形式稍有变化）：
		对于$N > M \geq 1$，有
		\begin{align*}
			\sum_{n=M+1}^N \frac{a_n}{n^{s}} &= \sum_{n=M+1}^N \frac{a_n}{n^{s_0}} \cdot \frac{1}{n^{s-s_0}} \\
			&= \left. \left( \sum_{n=1}^{N} \frac{a_n}{n^{s_0}} \right) \cdot \frac{1}{N^{s-s_0}} \right|_{n=N} - \left. \left( \sum_{n=1}^{M} \frac{a_n}{n^{s_0}} \right) \cdot \frac{1}{M^{s-s_0}} \right|_{n=M} \\
			&\quad - \int_{M}^{N} \left( \sum_{n \leq t} \frac{a_n}{n^{s_0}} \right) \cdot \frac{d}{dt}\left( t^{-(s-s_0)} \right) dt.
		\end{align*}
		由于$\sum \frac{a_n}{n^{s_0}}$收敛，故部分和序列$B(t) = \sum_{n \leq t} \frac{a_n}{n^{s_0}}$有界，设$|B(t)| \leq C$。
		同时，$\left| \frac{d}{dt}(t^{-(s-s_0)}) \right| = |s-s_0| t^{-\Re(s-s_0)-1}$。
		因此，
		\begin{align*}
			\left| \sum_{n=M+1}^N \frac{a_n}{n^{s}} \right| &\leq C \left| N^{-(s-s_0)} \right| + C \left| M^{-(s-s_0)} \right| + C |s-s_0| \int_M^N t^{-\Re(s-s_0)-1} dt \\
			&\leq C \left( M^{-\Re(s-s_0)} + N^{-\Re(s-s_0)} + \frac{|s-s_0|}{|\Re(s-s_0)|} M^{-\Re(s-s_0)} \right).
		\end{align*}
		当$\Re(s) > \sigma_0$时，上式在$M, N \to \infty$时趋于零。由柯西准则，级数在$\Re(s) > \sigma_0$内收敛，且内闭一致收敛。
	\end{proof}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.9, >=stealth]
			
			% Draw the complex plane
			\draw[->] (-0.5, 0) -- (5, 0) node[below] {$\sigma$};
			\draw[->] (0, -2.5) -- (0, 2.5) node[left] {$t$};
			\node at (0,0) [below left] {$0$};
			
			% Draw the critical line and regions
			% Absolute convergence boundary (example at sigma=2)
			\draw[red, very thick] (2, -2.5) -- (2, 2.5) node[above, pos=0.9] {$\sigma_a$};
			% Convergence boundary (example at sigma=0)
			\draw[blue, very thick, dashed] (0, -2.5) -- (0, 2.5) node[above, pos=0.9] {$\sigma_c$};
			
			% Fill the regions
			% Region of Absolute Convergence
			\fill[green!20] (2, -2.5) rectangle (4.5, 2.5);
			\node at (3.5, 1.5) {绝对收敛区域 $\Re(s) > \sigma_a$};
			
			% Region of Conditional Convergence (if it exists, between sigma_c and sigma_a)
			\fill[yellow!20] (0, -2.5) rectangle (2, 2.5);
			\node at (1, 1.5) {条件收敛区域 $\sigma_c < \Re(s) < \sigma_a$};
			
			% Region of Divergence
			\fill[red!10] (-0.5, -2.5) rectangle (0, 2.5);
			\node at (-0.2, 1.5) [rotate=90] {发散区域 $\Re(s) < \sigma_c$};
			
			% Add labels for the axes
			\node at (4.8, -0.2) {$\sigma$};
			\node at (0.2, 2.3) {$it$};
			
		\end{tikzpicture}
		\caption{狄利克雷级数收敛区域示意图 ($\sigma_c < \sigma_a$ 的情形)}
		\label{fig:dirichlet_convergence}
	\end{figure}
	
	\section{狄利克雷级数与算术函数的联系}
	狄利克雷级数的强大之处在于它将算术函数的代数运算转化为级数的解析运算。
	
	\begin{theorem}[乘法定理]
		设两个算术函数$f$和$g$对应的狄利克雷级数分别为：
		\[
		F(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s}, \quad G(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{g(n)}{n^s}
		\]
		并在半平面$\Re(s) > \sigma_f$和$\Re(s) > \sigma_g$上分别绝对收敛。则它们的乘积$F(s)G(s)$等于$f$与$g$的狄利克雷卷积所生成的狄利克雷级数：
		\[
		F(s)G(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(f * g)(n)}{n^s}
		\]
		且该级数在$\Re(s) > \max(\sigma_f, \sigma_g)$上绝对收敛。
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
		由于$F(s)$和$G(s)$在所述区域绝对收敛，故可以无条件地重排求和次序：
		\begin{align*}
			F(s)G(s) &= \left( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{f(m)}{m^s} \right) \left( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{g(k)}{k^s} \right) \\
			&= \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{f(m)g(k)}{(mk)^s}.
		\end{align*}
		令$n = mk$，则$m$取遍$n$的所有正因数$d$，$k$则对应为$n/d$。因此，上式可写为：
		\[
		\sum_{n=1}^{\infty} \left( \sum_{d \mid n} f(d) g\left(\frac{n}{d}\right) \right) n^{-s} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(f * g)(n)}{n^s}.
		\]
		重排的有效性由绝对收敛性保证。
	\end{proof}
	
	\section{实例：黎曼$\zeta$函数与莫比乌斯函数}
	\begin{example}[黎曼$\zeta$函数]
		最著名的狄利克雷级数是黎曼$\zeta$函数：
		\[
		\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}, \quad \Re(s) > 1.
		\]
		其倒数$\frac{1}{\zeta(s)}$的级数展开与莫比乌斯函数$\mu(n)$密切相关。
	\end{example}
	
	\begin{proposition}
		在收敛区域$\Re(s) > 1$内有：
		\[
		\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}
		\]
		其中$\mu(n)$是莫比乌斯函数。
	\end{proposition}
	
	\begin{proof}
		考虑常数函数$1(n)=1$与莫比乌斯函数$\mu(n)$的狄利克雷卷积：
		\[
		(1 * \mu)(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) = I(n) = \begin{cases}
			1, & n=1 \\
			0, & n>1
		\end{cases}
		\]
		其中$I(n)$是卷积单位元。根据乘法定理，它们的狄利克雷级数满足：
		\[
		\zeta(s) \cdot \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1 * \mu)(n)}{n^s} = \frac{I(1)}{1^s} = 1.
		\]
		因此，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)}$在$\Re(s) > 1$成立。
	\end{proof}
	
	\section{结论}
	狄利克雷级数作为解析数论中的核心分析工具，通过将算术信息编码为解析对象，架起了离散数学与连续分析之间的桥梁。其收敛性由阿贝尔求和公式深刻刻画，而乘法定理则揭示了狄利克雷卷积与普通乘法的美妙对应。从黎曼$\zeta$函数到更一般的$L$函数，狄利克雷级数为我们探索素数分布的奥秘、理解算术函数的深层性质提供了不可或缺的途径。对其解析延拓、函数方程等更深层次性质的研究，将继续推动数论的发展。
	